En realidad no es demasiado difícil crear un aplicación capaz de enviar correos electrónicos usando el IDE de Android Studio  .De hecho gracias al APi de Javmail   podremos enviar e-mails sin utilizar la aplicación de correo electrónico que android incluye por defecto utilizando javamail API para crear nuestro propio email del remitente herramientas que enviará correo internamente.

Tenemos que seguir los pasos que se dan a continuación:

1. Descargar los archivos de biblioteca de api de java.

Tenemos que descargar  tres   librerías java: 

1. 1. activation.jar
   2. mail.jar.
   3.  additionnal.jar

Lo puede descargar de Clic aquí.

2 Ahora crear una  app en Android studio

3-Ir a la carpeta del proyecto -> aplicación -> libs y agregue todos los archivos jar en libs ahora uno por uno, haga clic en biblioteca de archivos en la opción haga clic en Agregar como biblioteca en todos los archivos jar.

También puede Agregar biblioteca por otro camino, pero lo  importante es que incluya esta tres librerías:

1. activation.jar
2. mail.jar.
3.  additionnal.jar

Ir a archivo >Proyecto estructura > seleccione aplicación> opción derecha haga clic en dependencias ahora haga clic en el botón de pulse(+) para agregar > seleccione dependencia de archivo> archivo seleccione Biblioteca > OK.

4. Ahora abrir el archivo manifest.xml y poner los permisos de internet.

 <uses-permission android:name="android.permission.INTERNET"/>

Ahora busque manifiesto está buscando como.

<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<manifest xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
    package="com.sp.sendmailinternally">
    <uses-permission android:name="android.permission.INTERNET"/>
    <application
        android:allowBackup="true"
        android:icon="@mipmap/ic_launcher"
        android:label="@string/app_name"
        android:supportsRtl="true"
        android:theme="@style/AppTheme">
        <activity android:name=".MainActivity">
            <intent-filter>
                <action android:name="android.intent.action.MAIN" />
                <category android:name="android.intent.category.LAUNCHER" />
            </intent-filter>
        </activity>
    </application>
</manifest>

4. Ahora abrael fichero  activity_main.xml para crear el archivo de diseño agregar después de código.

<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<LinearLayout xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
    xmlns:tools="http://schemas.android.com/tools"
    android:id="@+id/activity_main"
    android:layout_width="match_parent"
    android:layout_height="match_parent"
    android:orientation="vertical"
    android:paddingBottom="@dimen/activity_vertical_margin"
    android:paddingLeft="@dimen/activity_horizontal_margin"
    android:paddingRight="@dimen/activity_horizontal_margin"
    android:paddingTop="@dimen/activity_vertical_margin"
    tools:context="com.sp.sendmailinternally.MainActivity">
    <EditText
        android:id="@+id/edittext_recipient_id"
        android:layout_width="match_parent"
        android:layout_height="wrap_content"
        android:hint="Recipient Email"
        android:textSize="18sp" />
    <EditText
        android:id="@+id/edittext_subject"
        android:layout_width="match_parent"
        android:layout_height="wrap_content"
        android:hint="Subject"
        android:textSize="18sp" />
    <EditText
        android:id="@+id/edittext_message"
        android:layout_width="match_parent"
        android:layout_height="100dp"
        android:gravity="start"
        android:hint="Message"
        android:textSize="18sp" />
    <Button
        android:id="@+id/btn_send_mail"
        android:layout_width="wrap_content"
        android:layout_height="wrap_content"
        android:layout_gravity="center_horizontal"
        android:text="Send Mail"
        android:textAllCaps="false" />
</LinearLayout>

5. Cree la  clase de Asyntask para el envío de llamada correo API.

package com.sp.sendmailinternally;
import android.app.ProgressDialog;
import android.content.Context;
import android.os.AsyncTask;
import android.widget.Toast;
import java.util.Properties;
import javax.mail.Message;
import javax.mail.MessagingException;
import javax.mail.PasswordAuthentication;
import javax.mail.Session;
import javax.mail.Transport;
import javax.mail.internet.InternetAddress;
import javax.mail.internet.MimeMessage;
/**
 * Created by ps205 on 3/1/17.
 */
public class SendMailAsynTask extends AsyncTask<Void, Void, Void> {
    //Declaring Variables
    private Context context;
    private Session session;
    //Information to send email
    private String email;
    private String subject;
    private String message;
    //Progressdialog to show while sending email
    private ProgressDialog progressDialog;
    //Class Constructor
    public SendMailAsynTask(Context context, String email, String subject, String message) {
        //Initializing variables
        this.context = context;
        this.email = email;
        this.subject = subject;
        this.message = message;
    }
    @Override
    protected void onPreExecute() {
        super.onPreExecute();
        //Showing progress dialog while sending email
        progressDialog = ProgressDialog.show(context, "Sending message", "Please wait...", false, false);
    }
    @Override
    protected void onPostExecute(Void aVoid) {
        super.onPostExecute(aVoid);
        //Dismissing the progress dialog
        progressDialog.dismiss();
        //Showing a success message
        Toast.makeText(context, "Message Sent", Toast.LENGTH_LONG).show();
    }
    @Override
    protected Void doInBackground(Void... params) {
        //Creating properties
        Properties props = new Properties();
        //Configuring properties for gmail
        //If you are not using gmail you may need to change the values
        props.put("mail.smtp.host", "smtp.gmail.com");
        props.put("mail.smtp.socketFactory.port", "465");
        props.put("mail.smtp.socketFactory.class", "javax.net.ssl.SSLSocketFactory");
        props.put("mail.smtp.auth", "true");
        props.put("mail.smtp.port", "465");
        //Creating a new session
        session = Session.getDefaultInstance(props,
                new javax.mail.Authenticator() {
                    //Authenticating the password
                    protected PasswordAuthentication getPasswordAuthentication() {
                        return new PasswordAuthentication(Config.EMAIL, Config.PASSWORD);
                    }
                });
        try {
            //Creating MimeMessage object
            MimeMessage mm = new MimeMessage(session);
            //Setting sender address
            mm.setFrom(new InternetAddress(Config.EMAIL));
            //Adding receiver
            mm.addRecipient(Message.RecipientType.TO, new InternetAddress(email));
            //Adding subject
            mm.setSubject(subject);
            //Adding message
            mm.setText(message);
            //Sending email
            Transport.send(mm);
        } catch (MessagingException e) {
            e.printStackTrace();
        }
        return null;
    }
}

6. Ahora abra MainActivity.java y agregue el siguiente código.

package com.sp.sendmailinternally;
import android.os.Bundle;
import android.support.v7.app.AppCompatActivity;
import android.view.View;
import android.widget.Button;
import android.widget.EditText;
public class MainActivity extends AppCompatActivity {
    EditText edittext_recipient_id, edittext_subject, edittext_message;
    Button btn_send_mail;
    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_main);
        //initializr vista para encontar vista por id
        edittext_recipient_id = (EditText) findViewById(R.id.edittext_recipient_id);
        edittext_subject = (EditText) findViewById(R.id.edittext_subject);
        edittext_message = (EditText) findViewById(R.id.edittext_message);
        btn_send_mail = (Button) findViewById(R.id.btn_send_mail);
//activar un listener  onclick en un  boton
        btn_send_mail.setOnClickListener(new View.OnClickListener() {
            @Override
            public void onClick(View view) {
                //get  input data from view
                String mRecipientMail = edittext_recipient_id.getText().toString();
                String mSubject = edittext_subject.getText().toString();
                String mMessage = edittext_message.getText().toString();
                new SendMailAsynTask(MainActivity.this, mRecipientMail, mSubject, mMessage).execute();
          //llama al contructor de send mail  asyntask mediante el envio de un parametroperameter
            }
        });
    }
}

7. Ya puede construir y ejecutar la aplicación  

Nota:- cuando ponga su id debe ser accesible acceso menos seguro aplicaciones .Para cambiar configuración para motivos de seguridad de correo vaya a cambiar la configuración   y actiíela .

Por cierto todo el código  esta disponible en descargar código fuente